题目内容

【题目】已知函数为常数)

(1)若,讨论的单调性;

(2)若对任意的,都存在使得不等式成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】试题分析:(1)求导得,分 三种情况得单调区间.

(2)依题意,只需,由(1)当时, 上单调递增,

转化为对任意的,不等式恒成立,构造新函数,对讨论求最值即可.

试题解析:(1)

①当时, ,当时, ;当时, ,此时的单调递增区间为 ,单调递减区间为

②当时, , 上单调递增;

③当时, ,当时, ;当时, ,此时的单调递增区间为 ,单调递减区间为

综上所述,当时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为;当时, 的单调递增区间为;当时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为.

(2)由(1)可知,当时, 上单调递增,

时, ,依题意,只需

即对任意的,不等式恒成立,

,则

,∴

①当时,对任意的 ,∴

上单调递增, 恒成立;

②当时,存在使得当时, ,∴,∴单调递减,

,∴时, 不能恒成立

综上所述,实数的取值范围是.

点晴:本题主要考查函数单调性,不等式恒成立问题.求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网