Question

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a、b、c组成一个公差为d=-1的等差数列，若A=2C，试求△ABC的三边a，b，c的长．

Answer 1

分析 依题意可得，a=b+1，c=b-1（b＞1），由正弦定理及A=2C，得$\frac{b+1}{sin2C}=\frac{b-1}{sinC}$，化简可得 $cosC=\frac{b+1}{2（b-1）}$．①，由余弦定理可得：$cosC=\frac{b+4}{2（b+1）}$．②，由①②两式联立，即可得解．

解答 解：依题意，a，b，c组成一个公差d=-1的等差数列，即a=b+1，c=b-1（b＞1）
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$及A=2C，得$\frac{b+1}{sin2C}=\frac{b-1}{sinC}$，
∴$\frac{b+1}{b-1}=\frac{sin2C}{sinC}=2cosC$，即 $cosC=\frac{b+1}{2（b-1）}$．①
由余弦定理，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$=$\frac{{{{（b+1）}^2}+{b^2}-{{（b-1）}^2}}}{2（b+1）b}$
得   $cosC=\frac{b+4}{2（b+1）}$．②
由①②两式联立，消去cosC得$\frac{b+4}{b+1}=\frac{b+1}{b-1}$，解之得b=5．
所以a=6，b=5，c=4．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数列的性质的应用，考查了计算能力，属于基本知识的考查．