题目内容

给出下列四个命题:
①命题p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx<1;
②当x>1时,有1nx+
1
lnx
≥2

③函数f(x)=
lnx-x2+2x,(x>0)
2x+1,(x≤0)
的零点个数有3个;
④设有五个函数y=x-1,y=x
1
2
,y=x3,y=x2,y=2|x|
,其中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的有2个.
其中真命题的个数是(  )
分析:①原命题是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意的”,“>“改为“≤”即可得答案;
②利用均值不等式进行判断,注意取等号时的情况,从而进行判断;
③求分段函数的零点,x≤0时的情况比较好判断,只有一个,x>0的情况,可以利用导数和零点定理进行判断;
④根据偶函数的性质f(-x)=f(x),和导数进行判断增减性;
解答:解:①命题p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx>1,故①错误;
②∵当x>1时,有1nx+
1
1nx
≥2
lnx×
1
lnx
=2,当lnx=
1
lnx
即x=e时等号成立,故②正确;
③当x≤0时,f(x)=2x+1=0,得x=-
1
2
,有一个交点;
当x>0时,f(x)=lnx-x2+2x,求导f′(x)=
1
x
-2x+2=
1-2x2+2x
x
,因为y=-2x2+2x+1开口向下,△=4-4(-2)1=12,令f′(x)=0,解得x=
1+
3
2
或x=
1-
3
2

若f′(x)>0,可得0<x<
1+
3
2
,f(x)为增函数,
若f′(x)<0,可得x>
1+
3
2
,f(x)为减函数;
当x→0时,f(x)<0,f(
1+
3
2
)>0,f(x)与x轴有两个交点;故③正确;
④有五个函数y=x-1,y=x
1
2
,y=x3,y=x2,y=2|x|

根据f(-x)=f(x),
可知y=x2,y=2|x|为偶函数,
且y=x2,y=2|x|在(0,+∞)上为增函数,
故④正确;
故选C;
点评:此题考查否命题的定义均值不等式的应用以及偶函数的性质,考查的知识点比较多,是一道综合题;
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