题目内容
【题目】
已知函数,且
。
(I)试用含的代数式表示
;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)令,设函数
在
处取得极值,记点
,证明:线段
与曲线
存在异于
、
的公共点。
【答案】(I)
(Ⅱ)当时,函数
的单调增区间为
和
,单调减区间为
;
当时,函数
的单调增区间为R;
当时,函数
的单调增区间为
和
,单调减区间为
。
(Ⅲ)证明见解析。
【解析】
试题(Ⅰ)从导数出发,利用即得
与
的关系式:
(Ⅱ)求函数单调区间,关键研究导函数零点分布情况:因为导函数有两个零点:
,
,因此需分三种情况进行讨论,此时最容易遗漏相等的情况(Ⅲ)先根据极值求出
、
的坐标
,再联立方程确定线段MN与曲线
的交点,由
易得
,因此线段
与曲线
存在异于
、
的公共点
试题解析:解:(Ⅰ)依题意得,由
得
…2分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
故,令
,则
或
①当时,
,当
变化时,
的变化情况如下表
可得函数的单调增区间为
和
,单调减区间为
。
②当时,
,此时
恒成立,且仅在
处
,故函数
的单调增区间为
;
③当时,
,函数
的单调增区间为
和
,单调减区间为
(Ⅲ)当时,
,
,
。
由(Ⅱ)得的单调增区间为
和
,单调减区间为
,
函数在
处取得极值,故
直线的方程为
由得
令,易得
的图像在
内是一条连续不断的曲线,
故在
内存在零点
,这表明线段
与曲线
有异于
的公共点
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费
元;重量超过
的包裹,除
收费
元之外,超过
的部分,每超出
(不足
,按
计算)需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: | |||||
包裹件数 |
公司对近天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | |||||
包裹件数 (近似处理) | |||||
天数 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来天内恰有
天揽件数在
之间的概率;
(2)(i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人,每人每天揽件不超过
件,工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?