题目内容
已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求a的取值范围.分析:先由柯西不等式得(
+
+
) (2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d) 2从而得到关于a的不等关系:5-a2≥(3-a)2,解之即a的取值范围.
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
6 |
解答:解:由柯西不等式得(
+
+
) (2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d) 2
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2
将条件代入可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2
当且仅当
=
=
时等号成立,
可知b=
,c=
,d=
时a最大=2,
b=1,c=
,d=
时,a最小=1,
所以:a的取值范围是[1,2].
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
6 |
即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2
将条件代入可得5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2
当且仅当
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
|
可知b=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
6 |
b=1,c=
2 |
3 |
1 |
3 |
所以:a的取值范围是[1,2].
点评:此题主要考查不等式的证明问题,其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题,有一定的技巧性,需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练.
练习册系列答案
相关题目