题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)讨论的单调性;
(2)若,证明:当
时,
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)求函数导数,讨论a,根据导数的正负分析函数单调性即可;
(2)要证在
上恒成立,即证明
,
在
上恒成立,设
,求函数导数,利用单调性求最值证明即可.
(1)
当时,
当时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
当时,令
得
(*)
因为所以方程(*)有两根,由求根公式得
,
.
当时,
, 当
或
时,
,
单调递减,
当时,
,
单调递增,
所以在
和
上单调递减,在
上单调递增.
当时,
, 当
或
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减,
所以在
和
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递减,在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减.
(2)当时,
,由题意知,要证
在
上恒成立,
即证明,
在
上恒成立.
设,则
,
因为,所以
,
(当且仅当
时等号成立),
即,
所以在
上单调递增,
,
所以在
上恒成立.
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