题目内容
【题目】对于定义在上的函数
,若函数
满足:①在区间
上单调递减,②存在常数
,使其值域为
,则称函数
是函数
的“渐近函数”.
(1)判断函数是不是函数
的“渐近函数”,说明理由;
(2)求证:函数不是函数
的“渐近函数”;
(3)若函数,
,求证:当且仅当
时,
是
的“渐近函数”.
【答案】(1)是,见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)用反比例型函数的单调性,可以判断函数是否满足定义中的两条性质,进而可以判断出函数
是不是函数
的“渐近函数”.
(2)利用指数型函数的单调性、单调性的性质,证明出函数至少不满足定义中两条性质中的一条,即可证明出函数
不是函数
的“渐近函数”;
(3)根据定义可知函数是
上的减函数.这样运用单调性的定义,可以求出
的取值范围,再根据定义中的第二条性质再求出
的取值范围,最后可以确定
的值.
(1) 函数是函数
的“渐近函数”理由如下:
,
显然函数在上单调递减,当
时,
,因此存在常数
,使得函数
的值域为
,故函数
是函数
的“渐近函数”;
(2) ,由指数型复合函数的单调性和函数单调性的性质可知:函数
在
上单调递减,符合定义中的第一条性质,
当时,
,
,故函数
的值趋近负无穷大,故不满足第二条性质,故函数
不是函数
的“渐近函数”;
(3) 由题意可知:在
上是减函数.
设且
,则有
,
因为且
,所以
,
因为在
上是减函数,而
,则必有
,所以
,即
;
函数在
上的值域为
,则有
,
显然,当
时,
,因此
,综上所述:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】设某地区乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
储蓄存款 | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 |
(1)求关于的回归方程
,并预测该地区2019年的人民币储蓄存款(用最简分数作答).
(2)在含有一个解释变量的线性模型中,恰好等于相关系数
的平方,当
时,认为线性回归模型是有效的,请计算
并且评价模型的拟合效果(计算结果精确到
).
附:
,
.