Question

2．在平面直线坐标系xOy中，给定一点P（3，1）及两条直线l₁：x+2y+3=0，l₂：x+2y-7=0．
（Ⅰ）求直线l₁和l₂距离相等的直线方程；
（Ⅱ）求过P点且与l₁，l₂都相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l₁和l₂距离相等得到所求直线方程x+2y+m=0，利用平行线的距离公式得到m；
（Ⅱ）由题意，满足条件的圆的圆心到直线l₁和l₂距离相等，由此得到圆心在直线x+2y-2=0上，设出圆心坐标，得到半径，利用PC=r求出t．

解答 解：（Ⅰ）设满足条件的直线方程为x+2y+m=0，则$\frac{|m-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|m-（-7）|}{\sqrt{5}}$，即|m-3|=|m+7|，解得m=-2，
所以满足条件的直线方程为：x+2y-2=0；
（Ⅱ）由题意，满足条件的圆的圆心到直线l₁和l₂距离相等，
所以圆心在直线x+2y-2=0上设圆心C为（2-2t，t），且半径r=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，由圆过点P（3，1），所以|PC|=r，即[3-（2-2t）]²+（1-t）²=5，解得t=-1，或t=$\frac{3}{5}$，即C（$\frac{4}{5}，\frac{3}{5}$）或（4，-1），
所以满足条件的圆的方程为（x-$\frac{4}{5}$）²+（y-$\frac{3}{5}$）²=5或（x-4）²+（y+1）²=5．

点评 本题考查了由直线与直线，直线与圆的位置关系求满足条件的方程；根据是由位置关系得到参数的等式．