题目内容

2.在平面直线坐标系xOy中,给定一点P(3,1)及两条直线l1:x+2y+3=0,l2:x+2y-7=0.
(Ⅰ)求直线l1和l2距离相等的直线方程;
(Ⅱ)求过P点且与l1,l2都相切的圆的方程.

分析 (Ⅰ)由直线l1和l2距离相等得到所求直线方程x+2y+m=0,利用平行线的距离公式得到m;
(Ⅱ)由题意,满足条件的圆的圆心到直线l1和l2距离相等,由此得到圆心在直线x+2y-2=0上,设出圆心坐标,得到半径,利用PC=r求出t.

解答 解:(Ⅰ)设满足条件的直线方程为x+2y+m=0,则$\frac{|m-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|m-(-7)|}{\sqrt{5}}$,即|m-3|=|m+7|,解得m=-2,
所以满足条件的直线方程为:x+2y-2=0;
(Ⅱ)由题意,满足条件的圆的圆心到直线l1和l2距离相等,
所以圆心在直线x+2y-2=0上设圆心C为(2-2t,t),且半径r=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$,由圆过点P(3,1),所以|PC|=r,即[3-(2-2t)]2+(1-t)2=5,解得t=-1,或t=$\frac{3}{5}$,即C($\frac{4}{5},\frac{3}{5}$)或(4,-1),
所以满足条件的圆的方程为(x-$\frac{4}{5}$)2+(y-$\frac{3}{5}$)2=5或(x-4)2+(y+1)2=5.

点评 本题考查了由直线与直线,直线与圆的位置关系求满足条件的方程;根据是由位置关系得到参数的等式.

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