题目内容

(2006•奉贤区一模)函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的常数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),
(1)若函数y=f(x),x∈R是周期函数,写出符合条件a的值;
(2)求n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,求y=f(x)的表达式y=fn(x);
(3)若函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是闭区间,求a的取值范围.
分析:(1)根据f(x+1)=af(x),函数y=f(x),x∈R是周期函数,求出a的值,然后分别求出a所对应的周期;
(2)利用递推关系可得fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n),然后将x-n代入当0≤x≤1时,f(x)的解析式;
(3)要使函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是闭区间,而fn(x)=an(x-n)(n+1-x),则-
1
4
|a|nfn(x)≤
1
4
|a|n
,讨论|a|与1的大小,验证函数y=f(x)在[0,+∞)上的值域是否是闭区间即可.
解答:解:(1)∵f(x+1)=af(x),函数y=f(x),x∈R是周期函数
∴a=±1
当a=1时,f(x+1)=f(x),则T=1(3分)
当a=-1时,f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=f(x),则T=2(6分)
(2)n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时
fn(x)=afn-1(x-1)=a2fn-1(x-2)=…=anf1(x-n)(9分)
∴fn(x)=an(x-n)(n+1-x)(9分)
(3)∵fn(x)=an(x-n)(n+1-x),
-
1
4
|a|nfn(x)≤
1
4
|a|n
(14分)
当|a|>1时f(x)∈(-∞,+∞)舍去
当a=1时f(x)∈[0,
1
4
]
符合
当a=-1时f(x)∈[-
1
4
1
4
]
符合
当0<a<1时f(x)∈[0,
1
4
]
符合
当-1<a<0时f(x)∈[0,
1
4
]
符合
∴a∈[-1,0)∪(0,1](18分)
点评:本题主要考查了函数的周期性,以及函数解析式和函数再给定区间上的值域,属于中档题.
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