Question

12．已知函数f（x）=a-$\sqrt{x}$在[m，n]值域也为[m，n]，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 由函数f（x）=a-$\sqrt{x}$在[m，n]上为减函数，结合已知可得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=a-\sqrt{m}=n①}\\{f（n）=a-\sqrt{n}=m②}\end{array}\right.$，①②作差可得$\sqrt{m}=1-\sqrt{n}$，代入①后利用配方法求得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=a-$\sqrt{x}$在[m，n]上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=a-\sqrt{m}=n①}\\{f（n）=a-\sqrt{n}=m②}\end{array}\right.$（0≤m＜n），
①-②得：$\sqrt{n}-\sqrt{m}=n-m=（\sqrt{n}-\sqrt{m}）（\sqrt{n}+\sqrt{m}）$，
∴$\sqrt{n}+\sqrt{m}=1$，即$\sqrt{m}=1-\sqrt{n}$，
把$\sqrt{m}=1-\sqrt{n}$代入①得：
a=n+1-$\sqrt{n}=（\sqrt{n}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵$\sqrt{n}＞0$，
∴a$≥\frac{3}{4}$．

点评 本题考查函数的值域的求法，考查了利用函数的单调性求函数值，训练了利用配方法求函数的值域，是中档题．