题目内容
【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
,
,
,
为
的中点,
.
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)连接交
于点
,等腰三角形
中利用“三线合一”证出
,因此分别以
、
所在直线分别为
轴、
轴建立空间直角坐标系如图所示.结合题意算出
、
、
、
各点的坐标,设,根据
为
边的中点且
,算出
,从而得到
,可得
的长;(2)由(1)的计算,得
,
,
.利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出
和
分别为平面
、平面
的法向量,利用空间向量的夹角公式算出
、
夹角的余弦,结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角
的正弦值.
试题解析:(1)如图,连接交
于点
,
∵,
平分角
,∴
,
以为坐标原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴,建立空间直角坐标系
,
则,而
,可得
,
又∵,
∴可得,
,
,
,
由于⊥底面
,可设
,
∵为
边的中点,∴
,由此可得
,
∵,且
,
∴,解得
(舍负),
因此,,可得
的长为
.
(2)由(1)知,
,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
∵,且
,∴,取
,得
,
同理,由且
,解出
.
∴向量,
的夹角余弦值为
,
因此,二面角的正弦值等于
.
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