Question

已知函数f（x）=sin²（

π

4

x）-

3

sin（

π

4

x）•cos（

π

4

x）
（Ⅰ）求f（x）的最大值及此时x的值；
（Ⅱ）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最大值及此时x的值；
（Ⅱ）确定函数的周期性，即可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）的值．

解答：解：（I）f（x）=

1

2

-

1

2

cos

π

2

x-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin（

π

2

x+

π

6

）----（3分）
∴f(x)max=

3

2

，此时：

π

2

x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，即x=4k-

4

3

．----（7分）
（II）周期=

2π

π 2

=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=

1

2

-sin(

π

2

+

π

6

)+

1

2

-sin(π+

π

6

)+

1

2

-sin(

3π

2

+

π

6

)+

1

2

-sin(2π+

π

6

)=2
∵2010=4×502+2
∴原式=

2010

2

+f（1）+f（2）=

2010

2

+

1

2

-sin(

π

2

+

π

6

)+

1

2

-sin(π+

π

6

)=

2011- 3

2

----（14分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．