Question

12．求函数y=sin²2x+$\sqrt{3}$sinxcosx-1的最大值，最小值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得y=sin²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-1，换元由二次函数区间的最值可得．

解答 解：化简可得y=sin²2x+$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=sin²2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-1，
令sin2x=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-1，其对称轴为：t=$-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由二次函数的性质可知y=t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-1在t∈[-1，$-\frac{\sqrt{3}}{4}$]单调递减，在t∈[$-\frac{\sqrt{3}}{4}$，1]单调递增，
∴当t=$-\frac{\sqrt{3}}{4}$时，原函数取最小值-$\frac{25}{16}$，
当t=1时，原函数取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属基础题．