Question

（本小题满分１２分）
在三棱柱中，侧棱，点是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）为棱的中点，试证明：．

Answer 1

见解析。

本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行和线线垂直的证明。
（1）连接，交于点, 连接.
∵、分别是、的中点，∴∥．
∵平面，平面，∴∥平面．
（2）正三棱柱中，，∴四边形是正方形．
∵为的中点，是的中点，∴可得到，同时还有．，利用线面垂直的性质定理得到结论。
（1）证明：连接，交于点, 连接.
∵、分别是、的中点，∴∥．
∵平面，平面，∴∥平面．      
（2）∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．
∵为的中点，是的中点，∴，
∴，．
又∵， ，∴． 
∵是正三角形，是的中点，∴．
∵平面平面, 平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴．