题目内容
已知双曲线C：
的离心率为
，左顶点为（-1，0）。
（1）求双曲线方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆
上，求m的值和线段AB的长。
（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）因为双曲线的离心率为
，所以
，又左顶点为
，所以
，因此可解得
，
，从而求得双曲线的标准方程：
（2）设
，
中点
的坐标为
，则
联立方程组：
消去
得关于
的一元二次方程，在判别式大于零的条件下，由韦达定理可用含参数
的表达式表示
和
，进而表示
和
，由于点到原点的距离为
，可据此列方程解得
的值；最后根据弦长公式求弦的长.
试题解析：
（1）依题意
所以
..2分
所以双曲线方程为 ..4分
（2）由
得
， .6分
∴
，
又∵中点在直线
上，所以可得中点坐标为（m,2m）,
代入
得
.8分
|AB|=
。 12分
考点：1、双曲线的标准方程；2、直线与双曲线的位置关系；2、弦长公式.
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