Question

如图，三棱柱中，⊥面，，
，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
　 （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得
？请证明你的结论.

Answer 1

见解析.

第一问中，利用线面平行的判定定理可以得到OD∥B₁A，又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC₁
；第二问中，利用建立空间直角坐标系可以设出法向量，利用法向量的夹角求解二面角的平面角的方法得到。
第三问中，利用假设成立，推出不符合线面垂直的情况，得到一个矛盾，进而得到结论。
（1）证明：连接B1C，交BC₁于点O，
则O为B1C的中点，
∵D为AC中点，
∴OD∥B₁A，
又B₁A?平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁
∴B₁A∥面BDC1（4分）
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，
∴CC₁⊥面ABC，
则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC
如图建系，则C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）

∴ C₁D =（-3，1，0）， C₁B =（-3，0，2）
设平面C₁DB的法向量为n=（x，y，z）
则n=（2，6，3）
又平面BDC的法向量为 CC₁ =（3，0，0）
∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜ CC₁，n＞= (CC₁ .n)/ | CC₁ |，|n| ="2/" 7
（3）不存在
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．
则  CP • C₁B =0  CP • C₁D =0  ，
即 3(y-3)=0
2+3(y-3)=0 ∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁．（14分）