Question

4．已知函数f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=$\frac{n}{2}$x+m（m，n∈R）．
（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1-$\frac{n}{2}$，求T（x）在[0，1]上的最大值φ（n）的表达式；
（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若m=-$\frac{15}{2}$，n∈N^*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．

Answer 1

分析 （1）T（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），求导T′（x）=e^x（x+1）；从而确定函数的最大值；
（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e^x-2x；求导m′=e^x-2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；
（3）由题意，p（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．

解答 解：（Ⅰ）m=1-$\frac{n}{2}$ 时，T（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1-$\frac{n}{2}$），n∈R，
∴T′（x）=e^x（$\frac{n}{2}$x+1），
①当n=0时，T′（x）=e^x＞0，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；
②当n＞0时，T′（x）=e^x$\frac{n}{2}$（x+$\frac{2}{n}$）在（-$\frac{2}{n}$，+∞）上为增函数，
故T（x） 在[0，1]上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；                
③当n＜0时，T′（x）=e^x$\frac{n}{2}$（x+$\frac{2}{n}$），
T（x）在（-∞，-$\frac{2}{n}$） 上为增函数，在 （-$\frac{2}{n}$，+∞）上为减函数，
若0＜-$\frac{2}{n}$＜1，即n＜-2时，故T（x）在[0，-$\frac{2}{n}$]上为增函数，在[-$\frac{2}{n}$，1]上为减函数，
此时φ（n）=T（-$\frac{2}{n}$）=${e}^{-\frac{2}{n}}$（-1+m）=-$\frac{n}{2}$•${e}^{-\frac{2}{n}}$，
若-$\frac{2}{n}$≥1-2≤n＜0时，T（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；
∴综上所述：φ（n）=$\left\{\begin{array}{l}{e，n≥-2}\\{-\frac{n}{2}{e}^{-\frac{2}{n}}，n＜-2}\end{array}\right.$；             
（Ⅱ） 设F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-m，
∴F′（x）=e^x-2，
∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞） 上单调递增；      
∴F（x）=e^x-2x-m在[0，2]上恰有两个相异实根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=1-m≥0}\\{F（ln2）=2-2ln2-m＜0}\\{F（2）={e}^{2}-4-m≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜m≤1，
∴实数m的取值范围是{m|2-2ln2＜m≤1}；
（Ⅲ）由题设：?x∈R，p（x）=f（x）-g（x）=e^x-$\frac{n}{2}$x+$\frac{15}{2}$＞0，（*），
∵p′（x）=e^x-$\frac{n}{2}$，
∴p（x）在（-∞，ln$\frac{n}{2}$）上单调递减；在（ln$\frac{n}{2}$，+∞） 上单调递增，
∴（*）?p（x）_min=p（ln$\frac{n}{2}$）=$\frac{n}{2}$-$\frac{n}{2}$ln$\frac{n}{2}$+$\frac{15}{2}$=$\frac{1}{2}$（n-nln$\frac{n}{2}$+15）＞0，
设h（x）=x-xln$\frac{x}{2}$+15=x-x（lnx-ln2）+15，则 h′（x）=1-ln$\frac{x}{2}$-1=-ln$\frac{x}{2}$，
∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，
而h（2e²）=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln$\frac{15}{2}$）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使 h（x₀）=0，
且x∈[2，x₀）时h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）时，h（x）＜0，
又∵h（1）=16-ln$\frac{1}{2}$＞0.7＜e²＜$\frac{15}{2}$，
∴n∈N^*时使 f（x）的图象恒在g（x） 图象的上方的最大正整数n=14．

点评 本题考查利用导数研究函数的最值、单调性及恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，能力要求高．