Question

16．已知命题p：sinα-cosα=$\sqrt{2}$，命题q：双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}α}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}α}$=1的渐近线与圆x²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$相切，则命题p为命题q为（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆的位置关系进行判断即可．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}α}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}α}$=1的渐近线为y=±$\frac{sinα}{cosα}$x，
即sinαx±cosαy=0，
圆x²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$的圆心为（0，1），半径R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则圆心到直线的距离d=$\frac{|±cosα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=|cosα|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则sinα-cosα=$\sqrt{2}$不一定成立，
当sinα-cosα=$\sqrt{2}$时，得$\sqrt{2}$sin（α-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
即sin（α-$\frac{π}{4}$）=1，则α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
即α=$\frac{3π}{4}$+2kπ，则cosα=cos（$\frac{3π}{4}$+2kπ）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故命题p为命题q的充分不必要条件，
故选：A

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，综合考查学生的运算和推理能力．