题目内容
3.记不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω,P(x1,y1)、Q(x2,y2)是Ω内的任意点,则z=(x1-1)(x2-1)+y1y2的最大值是( )A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | 1 | D. | $\sqrt{3}$ |
分析 画出不等式组表示的可行域,化简所求表达式利用基本不等式求解最值.
解答 解:不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$转化为:$\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^{2}+{y}^{2}≥1}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$,如图:
P(x1,y1),Q(x2,y2)是Ω内任意一点,z=(x1-1)(x2-1)+y1y2,
∵-1≤y≤1,∴y1y2≤1,
∵x1+x2≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$.
z=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=y1y2+1+x1x2-(x1+x2)≤2+x1x2-2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
=($\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}-1$)2+1.
x1x2≤4.
1≤$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2.
所以z≤2.
∴z=(x1-1)(x2-1)+y1y2的最大值是2.
故选A.
点评 本题考查线性规划的应用,考查基本不等式以及线性规划,考查分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论中一定正确的是( )
A. | 函数f(x2)+x2是奇函数 | B. | 函数[f(x)]2+|x|不是偶函数 | ||
C. | 函数x2f(x)是奇函数 | D. | 函数f(x)+x3不是奇函数 |