Question

3．记不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω，P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）是Ω内的任意点，则z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 画出不等式组表示的可行域，化简所求表达式利用基本不等式求解最值．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$转化为：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}≥1}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$，如图：
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω内任意一点，z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂，
∵-1≤y≤1，∴y₁y₂≤1，
∵x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．
z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=y₁y₂+1+x₁x₂-（x₁+x₂）≤2+x₁x₂-2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}-1$）²+1．
x₁x₂≤4．
1≤$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2．
所以z≤2．
∴z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．
故选A．

点评 本题考查线性规划的应用，考查基本不等式以及线性规划，考查分析问题解决问题的能力．