题目内容
10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象上，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$．（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）设A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}，若A⊆B，求实数m的取值范围；
（III）若已知cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值．
分析 （I）由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再把已知点的坐标代入求得φ，从而得到函数f（x）解析式，再根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（II）当x∈A，求得f（x）∈[1，2]，再根据A⊆B，可得 $\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，从而求得m的范围．
（III）化简条件求得 cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα的值，再化简要求的式子，把这两个值代入，可得要求式子的值．
解答 解：（I）由题意可得函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，求得ω=2．再把点（$\frac{5π}{12}$，2）代入函数f（x）=2sin（2x+φ），
可得sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，故2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z．
再结合，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z．
（II）∵A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，B={x||f（x）-m|＜1}={x|m-1≤f（x）≤m+1}，
而当$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，即f（x）∈[1，2]，
根据A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤1}\\{m+1≥2}\end{array}\right.$，∴1≤m≤2．
（III）∵cosα+$\frac{1}{2}$f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=cosα+sin[2（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα=-$\frac{5}{18}$．
∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{\sqrt{2}•cosα（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2α-\frac{\sqrt{2}}{2}cos2α）+cosα}{cosα+sinα}$=$\frac{cosα（sin2α-cos2α+1）}{\frac{2}{3}}$=$\frac{3}{2}$•cosα（2sinαcosα+2sin2α）
=3sinαcosα（cosα+sinα）=3×（-$\frac{5}{18}$）×$\frac{2}{3}$=-$\frac{5}{9}$．
点评 本题主要考查正弦函数单调性、周期性、定义域和值域，三角恒等变换，集合间的不含关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．
| A． | （x+$\frac{1}{x}$）′=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$ | B． | $（\frac{{e}^{x}}{x}）′$=$\frac{{e}^{x}+x{e}^{x}}{{x}^{2}}$ | ||
| C． | （x2sinx）′=2xcosx | D． | （log2x）′=$\frac{1}{xln2}$ |
| A． | 大前提错误导致结论错 | B． | 小前提错导致结论错 | ||
| C． | 推理形式错误导致结论错 | D． | 大前提和小前提都错误导致结论错 |