题目内容
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax,(a∈R)
(1)若函数f(x)在点区间[e,+∞]处上为增函数,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3,且k∈Z时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值;
(3)n>m≥4时,证明:(mnn)m>(nmm)n .
【答案】
(1)解:∵f(x)=ax+xlnx,
又函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,
∴当x≥e时,f'(x)=a+1+lnx≥0恒成立,
∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,
即a的取值范围为[﹣2,+∞);
(2)解:因为f(x)=ax+xlnx(a∈R),
所以f'(x)=a+lnx+1f(x)在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3,
f'(e)=3,即a+lne+1=3,∴a=1
当x>1时,x﹣1>0,故不等式 ,
即 对任意x>1恒成立,
令 则
.
令h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1),
则 在(1,+∞)上单增,
∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0,
∴存在x0∈(3,4)使h(x0)=0,
即当1<x<x0时,h(x)<0,即g'(x)<0,
当x>x0时,h(x)>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增.
令h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即lnx0=x0﹣2,
∴k<g(x)min=x0且k∈Z,
即kmax=3
(3)证明:由(2)知, 是[4,+∞)上的增函数,
所以当n>m≥4,
整理,得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+n﹣m
因为n>m,mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn…
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,
ln(nmnmm)>ln(mmnnn),
nmnmm>mmnnn,
∴(mnn)m>(nmm)n
【解析】(1)求出函数的导数,得到a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,从而求出a的范围即可;(2)求出函数的导数,求出a的值,得到 对任意x>1恒成立,令
,根据函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出k的最大值;(3)当n>m≥4,得到
,整理即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积
的数据:
房屋面积( | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
销售价格(万元) | 24.8 | 21.6 | 18.4 | 29.2 | 22 |
(1)画出数据对应的散点图;
(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线;
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150时的销售价格.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,