Question

【题目】已知：函数f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定义域为（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵对任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）
f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），
∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），
∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．
当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）
【解析】（Ⅰ）利用对数函数的性质列出不等式求解函数的定义域．（Ⅱ）利用函数的奇偶性的定义判断即可．（Ⅲ）利用对数函数的单调性求解不等式即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性和对数的运算性质的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；①加法：②减法：③数乘：④⑤才能正确解答此题．