题目内容
【题目】已知梯形中,
,
,
,
,
是
上的点,
是
的中点,沿
将梯形
折起,使平面
平面
.
(1)当时,求证:
;
(2)记以为顶点的三棱锥的体积为
,求
的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角
的大小.
【答案】证明见解析;
最大值
【解析】
(1)由平面平面
,
,可得
,进而由面面垂直的性质定理得到
平面
,进而建立空间坐标系
,求出
的方向向量,根据两个向量的数量积为
,即可证得
;
(2)根据等体积法,我们可得的解析式,根据二次函数的性质,易求出
有最大值;
(3)根据(2)的结论,我们求出平面和平面
的法向量,代入向量夹角公式即可得到二面角
的余弦值.
解:(1)证明:因为平面平面,
,
,
,
平面
,
,
,
又,故可如图建立空间坐标系
:
又因为是
的中点,
,
.
则,
,
,
(2)平面
,
所以
,
即:时
有最大值为
(3)设平面的法向量为
,
,
、
、
,
、
,
则,
即
取
平面
平面
一个法向量为
则.
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