题目内容
【题目】设f（x）=ax2+（1-a）x+a-3．
（1）若不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜a-2（a∈R）．
【答案】(1) [
，+∞）．(2)答案不唯一，见解析
【解析】
（1）根据条件不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立，转化为ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；
（2）不等式f（x）＜a-2代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．
解：（1）由条件知不等式f（x）≥-3对一切实数x恒成立；
即ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立；
当a=0时，x≥0，显然不能恒成立；
当a≠0时，要使得ax2+（1-a）x+a≥0对一切实数x恒成立，
满足
，解得a≥
；
综上述，实数a的取值范围是[，+∞）．
（2）由条件化简不等式f（x）＜a-2，
得ax2+（1-a）x-1＜0，
①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，
不等式的解集为（-∞，1）；
当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和
；
②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+
）＜0，
∴不等式的解集为（，1）；
③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，
当-1＜a＜0时，1＜，
不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；
当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．
当a＜-1时，1＞，
不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；
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