Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.

（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；

（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）无极值点；（2）0.

【解析】

（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；

（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．

（1），

令，则f'（x）＝exg（x），

恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，

所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．

所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．

（2）当a＝ln2时，f（x）＝ex（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），

，令，

由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，

所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，

当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，

所以．

由h（x1）＝0得，即，

所以，

令，则恒成立，

所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，

又因为，

所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．