Question

【题目】定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）= ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0,2）
【解析】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，

∴关于x的方程x2﹣mx﹣1= 在（﹣1，1）内有实数根．

即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．

即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．

又1（﹣1，1）

∴x=m﹣1必为均值点，

即﹣1＜m﹣1＜10＜m＜2．

∴所求实数m的取值范围是（0，2）．

故答案为：（0，2）

函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x2﹣mx﹣1= 在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．