Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为e，且b，e，

1

3

为等比数列，曲线y=8-x²恰好过椭圆的焦点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设双曲线C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的顶点和焦点分别是椭圆C₁的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C₁和C₂上的点，问是否存在A，B满足

OA

=

1

2

OB

．请说明理由．若存在，请求出直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先确定c的值，再利用b，e，

1

3

为等比数列，结合a²=b²+c²，求出几何量，即可得到椭圆C₁的方程；
（2）假设存在A，B满足

OA

=

1

2

OB

，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，设出直线方程与椭圆、双曲线联立，利用共线得到k的方程，即可得到结论．

解答：解：（1）由y=8-x²=0可得x=±2

2

∴椭圆的焦点坐标为（±2

2

，0），即c=2

2

∵b，e，

1

3

为等比数列，
∴(

c

a

)2=

1

3

b
∵a²=b²+c²
∴a=2

3

，b=2
∴椭圆C₁的方程为

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）假设存在A，B满足

OA

=

1

2

OB

，则O，A，B三点共线且A，B不在y轴上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx
由（1）知，C₂的方程为

x2

8

-

y2

4

=1
直线与椭圆方程联立，可得（1+3k²）x²=12，即x12=

12

1+3k2

直线方程与双曲线方程联立，可得（1-2k²）x²=8，即x22=

8

1-2k2

∵

OA

=

1

2

OB

，∴x12=

1

4

x22
∴

12

1+3k2

=

8

1-2k2

∴k2=

1

3

∴k=±

3

3

∴存在A，B满足

OA

=

1

2

OB

，此时直线AB的方程为y=±

3

3

x．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，属于中档题．