Question

3．已知平面内A，B两点的坐标分别为（2，2），（0，-2），O为坐标原点，动点P满足|$\overrightarrow{BP}$|=1，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范围为（　　）

• A． （1，3）
• B． [1，3]
• C． （1，9）
• D． [1，9]

Answer 1

分析 设点P（x，y），求得P的轨迹为圆心为（0，-2），半径为1的圆，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|表示点P（x y）与点M（-2，-2）之间的距离，再由圆外一点与圆的距离的最小值为d-r，最大值为d+r，计算即可得到所求范围．

解答 解：设点P（x，y），则由动点P满足|$\overrightarrow{BP}$|=1可得 x²+（y+2）²=1，
即为圆心为（0，-2），半径为1的圆．
根据$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$的坐标为（2+x，y+2），可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（x+2）^{2}+（y+2）^{2}}$，
表示点P（x y）与点M（-2，-2）之间的距离．
显然点M在圆x²+（y+2）²=1的外部，求得|MB|=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（-2+2）^{2}}$=2，
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的最小值为|MB|-1=2-1=1，最大值为|MB|+1=2+1=3．
故所求取值范围是[1，3]．
故选：B．

点评 本题主要考查两点间的距离公式，考查圆的方程的应用，考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于中档题．