Question

5．函数f（x）=cos²x+sinx+a-1，若1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 首先，化简函数解析式，然后，利用换元法转化成二次函数的区间最值问题，最后，求解范围即可．

解答 解：根据已知函数，得
f（x）=-sin²x+sinx+a，
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{1}{4}$
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴当t=-1时，取得最小值a-2，
当t=$\frac{1}{2}$取得最大值为a+$\frac{1}{4}$，
∵1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$对一切x∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥1}\\{a+\frac{1}{4}≤\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，
∴3≤a≤4，
∴a的取值范围[3，4]．

点评 本题重点考查了同角三角函数基本关系式、换元法、二次函数的最值，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．