Question

【题目】已知圆的圆心在直线上．

（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求圆C的方程；

（Ⅱ）当a=0时，问在y轴上是否存在两点A，B，使得对于圆C上的任意一点P，都有，若有，试求出点A，B的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），或;（Ⅱ）存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2）.

【解析】

（Ⅰ）由圆与y轴相切，求出|a|＝ ；（Ⅱ）假设存在满足题意的A、B、P，设出这三个点的坐标，然后由两点间的距离公式将几何条件|PA|＝|PB坐标化，整理后对y恒成立两边对应项系数相等，列方程组解出y1，y2，即可求出．

（I）∵圆的圆心在直线上，

∴，∵圆C与y轴相切，∴，

∴，，

故所求圆C的方程，或，

（II）∵a=0，，

∴圆的方程为，∴，

假设在y轴上存在两点，使得对于圆C上的任意一点P，都有，设，则由得 ，

∴，

，

依题意此方程对y恒成立，故，

解得或，

故在y轴上存在两点A（0，﹣2）、B（0，0），或A（0，4）、B（0，2），使得对于圆C上的任意一点P，都有．