Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面.

（1）求证：；

（2）设点、分别是，的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） 平面；（3） .

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的性质可得平面，由此可得，由菱形的性质得，从而可证平面，即可证明结论成立；（2）取的中点，连接、，可证明四边形为平行四边形，从而得到平面；（3）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量由（1）知是平面的一个法向量，用空间向量的夹角公式求之即可.

试题解析：（1）连接，在正方形中，，

因为平面平面，平面平面，平面，所以

平面，因为平面，所以.

在菱形中，，因为面，平面，，所以

平面，因为平面，所以.

（2）平面，理由如下：

取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，因为是

的中点，所以.

在正方形中，，所以，且.

∴四边形为平行四边形，所以.

因为，，

所以.

（3）在平面内过点作，

由（1）可知：，以点为坐标原点，分别以、所在的直线为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.

在菱形中，，所以，.

设平面的一个法向量为.

因为即，

所以即，

由（1）可知：是平面的一个法向量.

所以，

所以二面角的余弦值为.