Question

【题目】已知圆，圆与轴交于两点，过点的圆的切线为是圆上异于的一点，垂直于轴，垂足为，是的中点，延长分别交于．

（1）若点，求以为直径的圆的方程，并判断是否在圆上；

（2）当在圆上运动时，证明：直线恒与圆相切．

Answer 1

【答案】（1）圆的方程为，且在圆上；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）已知点、的坐标，可求出直线的方程，可求出点的坐标，由圆的方程可知点的坐标，可求出以为直径的圆的方程，将点的坐标代入圆的方程，得在圆上；（2）要证明结论，需证明，可先设点坐标，可求点坐标，进而可求点坐标，得与斜率，得得结论．

试题解析：（1）由，∴直线的方程为，

令，得，由，,则直线的方程为，

令，得，∴为线段的中点，以为直径的圆恰以为圆心，半径等于，

所以，所求圆的方程为，且在圆上，

（2）设，则，直线的方程为，

在此方程中令，得，

直线的斜率，

若，则此时与轴垂直，即，若，则此时直线的斜率为

∴，即，则直线与圆相切