题目内容
【题目】已知函数,其中
是自然对数的底数.
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)如果对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)讨论函数的零点个数.
【答案】(1)(2)
(3)当
时,函数
有一个零点;当
时,
有三个零点.
【解析】
(1)代入的函数解析式,求得导函数及切点坐标,由导数的几何意义即可得切线方程;
(2)求得导函数,并对分类讨论,即可确定
的单调性,进而由不等式恒成立求得
的取值范围;
(3)将的解析式代入可得
解析式,结合基本不等式可知在
时,函数
有唯一零点;当
时,可知
为奇函数,由
可判断
的单调情况,进而构造
,可证明当
时,
,进而可知当
时,函数
有唯一零点,即可判断
时
的零点个数.
(1)当时,
,
可得,
则有,
,即切点坐标为
,
则切线方程为,
化简可得.
(2)函数,
则,
当时,
恒成立,则函数
在
上单增,而
,与
恒成立矛盾,不合题意;
当时,
恒成立,则符合题意;
当时,由
得
,则
在
上单调递减,
在上为单调递增,
则,解得
.
综上:.
(3)因,
当时,因为
恒成立,
则在
上为增函数,而
,则此时函数
有唯一零点.
当时,
则
为奇函数.
只需研究情形.
由,
得,则有
.
则,
,
则在
上为减函数,在
上为增函数,
则有.
下面证明:当时,
.
证明:令,则
,
,
即函数在
上为增函数,故有
,
则在
上为增函数,故有
,则
.
当时,有
,则
,
取,则
,
因为为连续函数,由零点存在性定理可得:存在唯一
,使得
,即当
时,函数
有唯一零点,也即此时函数
有三个零点.
综上:当时,函数
有一个零点;当
时,
有三个零点.
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