题目内容

已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足abc=

(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。

(2)若a>1,b>1,c>1,求出△ABC周长的最小值。

(1)存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8,(2)△ABC的周长最小值为,当且仅当时,取得此最小值


解析:

(1)不妨设整数a≥b≥c,显然c≥2。

若c≥5,这时

,可得

矛盾。

故c只可能取2,3,4。

当c=2时,,有

又a≥b≥2,故无解。

当c=3时,,即

又a≥b≥3,故

解得

能构成三角形的只有a=8,b=7,c=3。

当c=4时,同理解得a=9,b=4或a=6,b=5。

能构成三角形的只有a=6,b=5,c=4。

故存在三边长均为整数的△ABC,其三边长分别为4,5,6或3,7,8

(2)由,可得

所以,

,则有

故△ABC的周长最小值为,当且仅当时,取得此最小值。

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