Question

对于“函数f(x)=

1

-x2+2x+3

是否存在最值的问题”，你认为以下四种说法中正确的是（　　）

A．有最大值也有最小值

B．无最大值也无最小值

C．有最大值而无最小值

D．无最大值而有最小值

Answer 1

分析：观察分母，可设t=-x²+2x+3是一个二次函数，利用二次函数求值域的方法可得t≤4，从而

1

t

≥

1

4

或

1

t

＜0，可得函数的值域为（-∞，0）∪[

1

4

，+∞），说明函数既没有最大值也没有最小值．

解答：解：注意到原函数的分母，设t=-x²+2x+3，
得t=-（x-1）²+4
因此t≤4，而函数f(x)=

1

t

⇒t=

1

f(x)

≥4
化简得：f（x）＜0或f（x）≥

1

4

函数f（x）的值域为（-∞，0）∪[

1

4

，+∞），
故选B

点评：本题考查了函数最值的应用，考查了二次函数值域问题，属于中档题．合理运用倒数和运用不等式进行处理，是解决本题的关键．