Question

对于函数f(x)=

2

(sinx+cosx)，给出下列四个命题：
①存在α∈(-

π

2

，0)，使f(α)=

2

； 
②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函数f（x+?）的图象关于坐标原点成中心对称；
④函数f（x）的图象关于直线x=-

3π

4

对称；
⑤函数f（x）的图象向左平移

π

4

就能得到y=-2cosx的图象
其中正确命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：利用辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，由正弦型函数的值域，可以判断①的真假；根据正弦型函数的周期性，可以判断②的真假；根据正弦函数的对称性，可以判断③④的真假；根据正弦型函数的图象的平移变换法则，及诱导公式，可以判断⑤的真假，进而得到答案．

解答：解：∵f(x)=

2

(sinx+cosx)=2sin（x+

π

4

）
当α∈(-

π

2

，0)时，α+

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

），此时f（α）∈（-

2

，

2

），故①错误；
若f（x-α）=f（x+α）恒成立，则2α为函数的一个周期，则2α=2kπ，k∈N*，即α=kπ，k∈N*，故②错误；
存在φ=-

π

4

+kπ，k∈Z，使函数f（x+?）的图象关于坐标原点成中心对称，故③正确；
函数图象的对称轴为x=

π

4

+kπ，k∈Z，当k=-1时，x=-

3π

4

，故④正确；
函数f（x）的图象向左平移

π

4

后得到y=2sin（x+

π

4

+

π

4

）=2sin（x+

π

2

）=2cosx的图象，故⑤错误；
故答案为：③④

点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的值域，函数y=Asin（ωx+φ）的对称性，熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质是解答本题的关键．