题目内容

对于函数f(x)=
x-1
x+1
,设f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…fn+1(x)=f[fn(x)],(n∈N*,且n≥2),令集合M={x|f2012(x)=
1
x
,x∈R}
,则集合M为(  )
分析:由函数f(x)=
x-1
x+1
,f2(x)=f[f(x)],f3(x)=f[f2(x)],…fn+1(x)=f[fn(x)],(n∈N*,且n≥2),能够推导出f2(x)=-
1
x
,f3(x)=
1+x
1-x
,f4(x)=x,f5(x)=
x-1
x+1
.故f2012(x)=x,由此能求出集合M.
解答:解:∵函数f(x)=
x-1
x+1
,f2(x)=f[f(x)],
f3(x)=f[f2(x)],…fn+1(x)=f[fn(x)],(n∈N*,且n≥2),
∴f2(x)=
x-1
x+1
-1
x-1
x+1
+1
=-
1
x

f3(x)=
-
1
x
-1
-
1
x
+1
=
1+x
1-x

f4(x)=
1+x
1-x
-1
1+x
1-x
+1
=x,
f5(x)=
x-1
x+1

∵2012=4×503,
∴f2012(x)=x,
M={x|f2012(x)=
1
x
,x∈R}
={x|x=
1
x
}={-1,1}.
又x不能为0,1,-1,所以是空集.
故选A.
点评:本题考查函数值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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