Question

【题目】已知函数f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，则f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．

当 ≤2即a≤ 时，g（a）=h（u）min=h（3）=a2﹣9a+9；

当 ＞2即a＞ 时，g（a）=h（u）min=h（1）=a2﹣3a+1；

故g（a）=

（Ⅱ）当a≤ 时，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（ ）=﹣ ；

当a 时，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（ ）=﹣ ；

因此g（a）min=g（ ）=﹣ ；

对于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等价于﹣m2+tm≤﹣ ．

令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣ 等价于 ，

即 ，

解得m≤﹣ 或m≥

【解析】（Ⅰ）由题意可得，令u=3x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2，分类讨论即可求得结果。
（Ⅱ）由已知先求出g（a）min=g（ ）=﹣ ；再根据题意可得﹣m2+tm≤ ，利用函数的单调性即可求得结果。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．