Question

已知动点P（x，y）与两定点m（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（I） 求动点P的轨迹C的方程；
（II） 试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状：
（III） 当λ=-2时，过定点F（0，1）的直线l与轨迹C交于A、b两点，求△OAB的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，由此能够导出动点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）；当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．
（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+

y2

2

=1（x≠±1），由题意知，l的斜率存在．设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程中整理得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此入手能够求出OAB的面积取最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（7分）
（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C的椭圆x2+

y2

2

=1（x≠±1）
由题意知，l的斜率存在
设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程中整理得
（k²+2）x²+2kx-1=0（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂的方程（*）的两个实根
∴x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

（9分）
∴S△OAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

 |x1-x2| •

1

k2+1

=

1

2

|x1-x2|
=

1

2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

1

2

4k2 (k+2)2 + 4 k2+2

（11分）
=

2

1 (k2+1)+ 1 k2+1 +2

≤

2

2

当k=0时，取“=”
∴k=0时，△OAB的面积取最大值为

2

2

．（13分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和均值不等式的合理运用．