Question

【题目】用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

【答案】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V， 则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）
求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320
由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．
所以当x＜10时，V′＞0，
当10＜x＜36时，V′＜0，
当x＞36时，V′＞0，
所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，
所以当x=10，V有最大值V（10）=19600
故答案为当高为10，最大容积为19600
【解析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式在最值问题中的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．