Question

16．设函数f_n（x）=xⁿ+kx+m（n∈N₊，k，m∈R）
（1）设n≥2，k=1，m=-1，证明：f_n（x）在区间（$\frac{1}{2}$，1）内存在唯一的零点
（2）设n=2，k=-2，集合D={f（x）|f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，是否存在实数m，当a+b≤2时，使得函数f_n（x）∈D，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当n≥2，k=1，m=-1时，f₂（x）=x²+x-1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上为增函数，结合零点存在定理，可得结论；
（2）当n=2，k=-2时，f₂（x）=x²-2x+m∈D，知当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，当a＜1≤b时，f₂（x）在[a，1]上单调递减，[1，b]上单调递增，由此能推导出m的范围．

解答 证明：（1）当n≥2，k=1，m=-1时，
∵y=x²和y=x-1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上均为增函数，
故f₂（x）=x²+x-1在区间（$\frac{1}{2}$，1）上为增函数，
又∵f₂（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{4}$＜0，f₂（1）=1＞0，
故f₂（x）在区间（$\frac{1}{2}$，1）内存在唯一的零点；
解：（2）当n=2，k=-2时，f₂（x）=x²-2x+m∈D，
由a+b≤2可得：a＜b≤1或a＜1≤b；
∴当a＜b≤1时，f₂（x）在[a，b]上单调递减，
①f₂（a）=m-2a+a²=b，f₂（b）=m-2b+b²=a，
$\left\{\begin{array}{l}b=m-2a+{a}^{2}\\ a=m-2b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
两式相减，得a+b=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-a=m-2a+{a}^{2}\\ 1-b=m-2b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}0=m-1-a+{a}^{2}\\ 0=m-1-b+{b}^{2}\end{array}\right.$，
∴方程0=m-1-x+x²在（-∞，1]上有两个不同的解，
则$\left\{\begin{array}{l}△=1-4（m-1）＞0\\ m-1≥0\end{array}\right.$
解得 1≤m＜$\frac{5}{4}$；
当a＜1≤b时，f₂（x）在[a，1]上单调递减，[1，b]上单调递增，则：
f₂（1）=m-1=a＜1，解得：m＜2；
此时，由a+b≤2，可得f₂（a）≥f₂（b），
故f₂（a）=m-2a+a²=b≥1
解得：m≥2，
故此时不存在满足条件的m的值，
综上所述，m∈[1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查二次函数的性质的应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．