题目内容
20．已知f（x）=3x2+2x-${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=（ ）| A． | 0 | B． | -1 | C． | 1 | D． | 2 |
分析 把已知等式两边求导，得到f′（x）=6x+2，可得f（x）=3x2+2x+c，代回原等式求得c值，求得f（x），则其导数可求．
解答 解：对f（x）=3x2+2x-${∫}_{0}^{1}$f（x）dx两边求导，得
f′（x）=6x+2，∴f（x）=3x2+2x+c，
则3x2+2x+c=3x2+2x-${∫}_{0}^{1}$（3x2+2x+c）dx
=$3{x}^{2}+2x-（{x}^{3}+{x}^{2}+cx）{|}_{0}^{1}$=3x2+2x-2-c，
∴c=-2-c，得c=-1．
∴f（x）=3x2+2x-1，
则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（3x2+2x-1）dx=$（{x}^{3}+{x}^{2}-x）{|}_{0}^{1}=1$．
故选；C．
点评 本题考查定积分，由已知求出f（x）是解答该题的关键，注意等式中的${∫}_{0}^{1}$f（x）dx是常数，是中档题．
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