题目内容
【题目】已知抛物线:
,焦点
,如果存在过点
的直线
与抛物线
交于不同的两点
.
,使得
,则称点
为抛物线
的“
分点”.
(1)如果,直线
:
,求
的值;
(2)如果为抛物线
的“
分点”,求直线
的方程;
(3)证明点不是抛物线
的“2分点”;
(4)如果是抛物线的“2分点”,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析;(4)
【解析】
(1)联立求得点
,点
的坐标,从而可求得三角形面积,进而求得
;
(2)由可得
,则
,联立直线
:
与抛物线,由韦达定理可得
与
的关系,进而求得
,从而得到直线方程;
(3)假设成立,设直线:
,利用点到直线距离公式求得面积,整理可得
,将直线与抛物线联立可得
,故可证明假设不成立;
(4)设直线:
,联立直线与抛物线得
,则根据韦达定理可得
与
的关系,由
也可以得到
与
的关系,二者结合可得
,进而求解即可
解:(1)联立得
,则
,
,
所以,
,
所以,
即
(2)设.
,不妨设
,
,设直线
:
,
因为,
所以,得
,
将代入
得
,
所以,则
,所以
,
所以直线:
,即
(3)设直线:
(
),代入
整理得,
,
由韦达定理得,所以
,
则点到直线
:
的距离
,
由得
,解得
,
又(
),
,消
得
,
将代入化简得
,解得
,不成立,
所以点不是抛物线
的“2分点”.
(4)设,
,不妨设
,
,
设直线:
,
将直线代入
得
,
则,
由,得
,解得
,
所以,消
得
,解得
.
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