Question

【题目】设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）． （Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设F（x）=|f（x）|+ （b＞0）．对任意x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ＜﹣1，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx，（x＞0）， ∴g′（x）=1﹣ = ，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
综上，g（x）的递减区间是（0，2），递增区间是（2，+∞）；
（Ⅱ）由题意得： +1＜0，即 ＜0，
若设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]上单调递减，
① 当x∈[1，2]时，G（x）=lnx+ +x，G′（x）= ﹣ +1≤0，
b≥ +（x+1）2=x2+3x+3+ ，
设G1（x）=x2+3x+3+ ，则G1′（x）=2x+3﹣ ＞0在（1，2）恒成立，
∴G1（x）在（1，2]单调递增，
∴b≥G1（x）max=G2（2）= ；
②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx+ +x，G′（x）=x2+x﹣ ﹣1，
设G2（x）=x2+x﹣ ﹣1，则G2′（x）=2x+1+ ＞0，
即G2′（x）=2x+1+ ＞0，即G2（x）在（0，1）单调递增，
故G2（x）≤G2（1）=0，
∴b≥0，
综上，由①②可得：b≥
【解析】（Ⅰ）将a=1代入g（x）的表达式，求出g（x）的导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为 ＜0，若设G（x）=F（x）+x，通过讨论①当x∈[1，2]时，②当x∈（0，1）时，G（x）的单调性，从而得到b的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．