Question

【题目】如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2 ，求四边形EBCF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，

∴AD是∠CAB的角平分线，

又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，

∴AE=AF，∴AD⊥EF，

∴EF∥BC

（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，

又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，

连结OE、OM，则OE⊥AE，

由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，

∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，

∵AE=2 ，∴AO=4，OE=2，

∵OM=OE=2，DM= MN= ，∴OD=1，

∴AD=5，AB= ，

∴四边形EBCF的面积为 × ﹣ × × = ．

【解析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．