Question

【题目】设函数 的定义域为 ，如果 ， ，使 （ 为常数）成立，则称函数 在 上的均值为 ．给出下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是 ．

Answer 1

【答案】③
【解析】原问题等价于对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使f(x1)+f(x2)=4成立的函数。
①y=x2,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此时 ,当 时,不存在满足题意的 ，故不满足条件；
②y=2x定义域为R,值域为y>0.对于x1=3,f(x1)=8.要使f(x1)+f(x2)=4成立,则f(x2)=4，不成立；
③y=lnx,定义域为x>0,值域为R且单调,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此时 ,不存在满足题意的 ，故满足条件；
④ ,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此时 ,当 时,不存在满足题意的 ，故不满足条件；综上可得：满足在其定义域上均值为2的函数是③.
根据二次函数、指数函数、对数函数以及正弦型函数的图像和性质逐一判断即可得出结论。