Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且过点E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$），过原点O且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，A、B为椭圆的左、右顶点，直线AP、AQ分别与椭圆的右准线交于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线PA与直线PB的斜率之积是定值；
（3）证明：以MN为直径的圆经过椭圆内的一个定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，将E代入椭圆方程，结合椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设出P的坐标，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，化简整理，即可得证；
（3）设出以MN为直径的圆上的动点D的坐标，由三点共线可得M，N的坐标，由$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DN}$=0，列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

解答 （1）解：由题意可得c=1，将点E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）代入椭圆方程，可得
$\frac{1}{4{a}^{2}}$+$\frac{45}{16{b}^{2}}$=1，又a²-b²=1，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
即有n²=3（1-$\frac{{m}^{2}}{4}$）=-$\frac{3（{m}^{2}-4）}{4}$，
A（-2，0），B（2，0），
则k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+2}$•$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
即有直线PA与直线PB的斜率之积是定值-$\frac{3}{4}$；
（3）证明：椭圆的右准线为x=4，
设点D（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则$\overrightarrow{DM}$•$\overrightarrow{DN}$=0，
设M（4，y₁），N（4，y₂），
由A，P，M共线可得$\frac{n}{m+2}$=$\frac{{y}_{1}}{6}$，可设y₁=6k₁，
同理可得y₂=6k₂，
又k₁•k₂=-$\frac{3}{4}$，
∴以MN为直径圆的方程为（x-4）（x-4）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即有x²+y²-8x-6（k₁+k₂）y+16+36k₁k₂=0．
即（x²+y²-8x-11）-6（k₁+k₂）y=0，
令y=0，则x²+y²-8x-11=0，
解得x=4±3$\sqrt{3}$．
∴以MN为直径的圆恒过定点（4+3$\sqrt{3}$，0）和（4-3$\sqrt{3}$，0）．
则有以MN为直径的圆经过椭圆内的一个定点（4-3$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了椭圆的方程和性质，考查直线的斜率，考查了直线与椭圆的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，属于中档题．