题目内容
【题目】已知函数 
．
（1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（2）设数列{an}的通项an=1+ 
．
【答案】
（1）解：由已知，f（0）=0，
f′（x）= 
= 
，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜ 
时，由f′（x）＞0解得x＜ 
，则当0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以当0＜x＜ 时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥ ，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥ ，即λ的最小值为
（2）解：令λ= ，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即 
取x= 
，则 
于是a2n﹣an+ 
= 
+ 
+…+ 
+
= 
= 
= 
= 
＞ 
=ln2n﹣lnn=ln2
所以 
【解析】（1）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（2）根据（1）的证明，可取λ= ，由于x＞0时，f（x）＜0得出 
，考察发现，若取x= ，则可得出 
，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数和数列的前n项和，需要了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在
内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
才能得出正确答案．
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