题目内容
【题目】已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(1)=,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1) 令x=0,y=0,可得f(0)=0; 令y=-x,f(x)=-f(-x),即命题成立.(2) 任取x1,x2∈R,且x1<x2.∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),由x1<x2,可得f(x2-x1)>0,即f(x)为增函数,进而求出端点值即函数的最值.
试题解析:
(1)证明:令x=0,y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(x)=-f(-x),即f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2.∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
∵当x>0时,f(x)>0,且x1<x2,∴f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)为增函数,
∴当x=-2时,函数有最小值,f(x)min=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=-1.
当x=6时,函数有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3.
点睛:本题考查函数的奇偶性以及由单调性求函数的最值,属于中档题目. 若函数在区间上单调递增,则
时,有
,事实上,若
,则
,这与
矛盾,类似地,若
在区间上单调递减,则当
时有
.
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【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关,某数学兴趣小组为了验证此结论,从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学(男生30人、女生20人),给每位同学立体几何题、代数题各一道,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统计如下表:(单位:人)
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关?
(2)经统计得,选择做立体几何题的学生正答率为,且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍,现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |