Question

已知函数
（I）当a=18时，求函数的单调区间；
（II）求函数在区间上的最小值．

Answer 1

（1）函数f（x）的单调递增区间是（4，+∞），单调递减区间是（0.4）．
（2）e²-4e+2-a．

试题分析：解：（1）当a=18时，f（x）=x²-4x-16lnx（x＞0），所以f'（x）=2x-4- ，由f'（x）＞0，解得x＞4或一2＜x＜0，注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（4，+∞）．由f'（x）＜0，解得0＜x＜4或x＜-2．注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，4）．综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（4，+∞），单调递减区间是（0.4）．（2）当x∈[e，e²]时，f（x）=x²-4x+（2-x）lnx， f'（x）=2x-4+ 设g（x）=2x²-4x+2-a．当a＜0时，有△=16-4×2（2-a）=8a＜0，此时g（x）＞0恒成立，所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e²]上单调递增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜．①当≥e²，即a≥2（e2-1）2时，f（x）在区间[e，e²]上单调递减，所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e2+4-2a；②当e＜＜e²，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，在区间[e，]上单调递减，在区间[，e²]上单调递增，所以f（x）_min=f()=a-3+（2-a）ln（）；③当≤e，即0＜a≤2（e-1）²时，以f（x）在区间[e，e²]上单调递增，所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．综上所述，当a≥2（e²-1）²时，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；当2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²时，f（x）_min=-3+（2-a）ln（）；当a＜0或0＜a≤2（e-1）²时，f（x）_min=e²-4e+2-a．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最小值的求法，综合性强，难度大，计算繁琐．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用。